Меня предложила прописать к себе подруга, собственник жилья. В паспортном столе нам сообщили, что прописать можно только родственников (родство нужно документально подтвердить). Верно ли это? Как нам поступить, если мне нужна регистрация?

Нет, это не вполне верно. Как правило, собственником могут быть вселены только родственники, но п. 1 ст. 31 Жилищного кодекса РФ предусматривает, что в исключительных случаях и иные граждане могут быть признаны членами семьи собственника, если они вселены собственником в качестве членов своей семьи. Поскольку регистрирующий орган Вам отказывает в постановке на учет, мы рекомендуем обратиться в суд с иском о признании Вас членом семьи собственника. Судебное решение будет являться правовым основанием для регистрации Вас в жилом помещении подруги.